Definizione di distribuzione ipergeometrica
Nella statistica e nella teoria della probabilità, la distribuzione ipergeometrica è fondamentalmente una distinta distribuzione di probabilità che definisce la probabilità di k successi (cioè alcune estrazioni casuali per l'oggetto disegnato che ha qualche caratteristica specificata) in n no di estrazioni, senza alcuna sostituzione, da un dato dimensione della popolazione N che include accuratamente K oggetti con quella caratteristica, dove l'estrazione può avere successo o può fallire.
La formula per la probabilità di una distribuzione ipergeometrica è derivata utilizzando un numero di elementi nella popolazione, numero di elementi nel campione, numero di successi nella popolazione, numero di successi nel campione e poche combinazioni. Matematicamente, la probabilità è rappresentata come,
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
dove,
- N = numero di articoli nella popolazione
- n = numero di articoli nel campione
- K = numero di successi nella popolazione
- k = numero di successi nel campione
La media e la deviazione standard di una distribuzione ipergeometrica sono espresse come,
Media = n * K / N Deviazione standard = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2Spiegazione
Passaggio 1: in primo luogo, determina il numero totale di elementi nella popolazione, indicato con N. Ad esempio, il numero di carte da gioco in un mazzo è 52.
Passaggio 2: Successivamente, determinare il numero di elementi nel campione, indicato da n-ad esempio, il numero di carte estratte dal mazzo.
Passaggio 3: Successivamente, determina le istanze che saranno considerate successi nella popolazione, ed è indicato da K. Ad esempio, il numero di cuori nel mazzo complessivo, che è 13.
Passaggio 4: Successivamente, determinare le istanze che saranno considerate successi nel campione estratto, ed è indicato da k. Ad esempio, il numero di cuori nelle carte estratte dal mazzo.
Passaggio 5: Infine, la formula per la probabilità di una distribuzione ipergeometrica viene derivata utilizzando un numero di elementi nella popolazione (passaggio 1), il numero di elementi nel campione (passaggio 2), il numero di successi nella popolazione (passaggio 3) e il numero di successi nel campione (passaggio 4) come mostrato di seguito.
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C nEsempi di distribuzione ipergeometrica (con modello Excel)
Esempio 1
Prendiamo l'esempio di un normale mazzo di carte da gioco in cui vengono pescate 6 carte in modo casuale senza sostituzione. Determina la probabilità di pescare esattamente 4 carte suite rosse, cioè quadri o cuori.
- Dato, N = 52 (poiché ci sono 52 carte in un normale mazzo di gioco)
- n = 6 (Numero di carte estratte a caso dal mazzo)
- K = 26 (poiché ci sono 13 carte rosse ciascuna in quadri e cuori)
- k = 4 (Numero di cartellini rossi da considerare vincenti nel campione estratto)
Soluzione:
Pertanto, la probabilità di pescare esattamente 4 carte suite rosse nelle 6 carte estratte può essere calcolata utilizzando la formula sopra come,
Probabilità = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 26 C 4 * (52 - 26) C (6-4) / 52 C 6
= 26 C 4 * 26 C 2 / 52 C 6
= 14950 * 325/20358520
La probabilità sarà -
Probabilità = 0,2387 ~ 23,87%
Pertanto, c'è una probabilità del 23,87% di pescare esattamente 4 carte rosse mentre si pescano 6 carte a caso da un mazzo normale.
Esempio n. 2
Prendiamo un altro esempio di portafoglio che contiene 5 banconote da $ 100 e 7 banconote da $ 1. Se vengono scelte 4 banconote in modo casuale, determina la probabilità di scegliere esattamente 3 banconote da $ 100.
- Dato, N = 12 (Numero di banconote da $ 100 + Numero di banconote da $ 1)
- n = 4 (Numero di banconote scelte a caso)
- K = 5 (poiché ci sono 5 banconote da $ 100)
- k = 3 (numero di banconote da $ 100 da considerare un successo nel campione scelto)
Soluzione:
Pertanto, la probabilità di scegliere esattamente 3 banconote da $ 100 nelle 4 fatture scelte a caso può essere calcolata utilizzando la formula sopra come,
Probabilità = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 5 C 3 * (12 - 5) C (4-3) / 12 C 4
= 5 C 3 * 7 C 1 / 12 C 4
= 10 * 7/495
La probabilità sarà -
Probabilità = 0,1414 ~ 14,14%
Pertanto, esiste una probabilità del 14,14% di scegliere esattamente 3 banconote da $ 100 mentre si prelevano 4 banconote casuali.
Rilevanza e usi
Il concetto di distribuzione ipergeometrica è importante perché fornisce un modo accurato per determinare le probabilità quando il numero di prove non è un numero molto elevato e se i campioni vengono prelevati da una popolazione finita senza sostituzione. Infatti, la distribuzione ipergeometrica è analoga alla distribuzione binomiale, che viene utilizzata quando il numero di prove è sostanzialmente elevato. Tuttavia, la distribuzione ipergeometrica viene utilizzata prevalentemente per il campionamento senza sostituzione.
