Funzione totale di Eulero: significato, esempi, come calcolare?

Qual è la funzione totale di Eulero?

La funzione totale di Eulero è le funzioni moltiplicative matematiche che contano gli interi positivi fino all'intero dato generalmente chiamato come 'n' che sono un numero primo a 'n' e la funzione è usata per conoscere il numero di numeri primi che esistono fino al dato il numero intero 'n'.

Spiegazione

Per sapere quanti numeri primi stanno arrivando al numero intero dato, si usa la funzione totale 'n' Eulero. È anche chiamata funzione aritmetica. Per un'applicazione o per l'uso della funzione Totient di Eulero, due cose sono importanti. Uno è che il mcd formato da un dato intero 'n' dovrebbe essere moltiplicativo tra loro e l'altro è che i numeri di mcd dovrebbero essere solo i numeri primi. L'intero "n" in questo caso dovrebbe essere maggiore di 1. Da un numero intero negativo, non è possibile calcolare la funzione totale di Eulero. Il principio, in questo caso, è che per ϕ (n), i moltiplicatori chiamati m e n dovrebbero essere maggiori di 1. Quindi indicati con 1

Storia

Eulero introdusse questa funzione nel 1763. Inizialmente, Eulero usò il greco π per denotare la funzione, ma a causa di alcuni problemi, la sua denotazione del greco π non ottenne il riconoscimento. E non è riuscito a dargli il segno di notazione appropriato cioè, ϕ. Quindi la funzione non può essere introdotta. Inoltre, ϕ è stato preso dalle Disquisitiones Arithmeticae di Gauss del 1801. La funzione è anche definita funzione phi. Ma JJ Sylvester, nel 1879, incluse il termine totient per questa funzione a causa delle proprietà e degli usi delle funzioni. Le diverse regole sono strutturate per trattare diversi tipi di numeri interi, come se l'intero p fosse un numero primo, allora quale regola applicare, ecc. Tutte le regole sono inquadrate da Eulero sono praticabili e possono essere usate anche oggi mentre si tratta di stesso.

Proprietà della funzione totale di Eulero

Ci sono alcune delle diverse proprietà. Alcune delle proprietà della funzione totiente di Eulero sono le seguenti:

  • Φ è il simbolo utilizzato per denotare la funzione.
  • La funzione si occupa della teoria dei numeri primi.
  • La funzione è applicabile solo nel caso di numeri interi positivi.
  • Per ϕ (n), si devono trovare due numeri primi moltiplicativi per calcolare la funzione.
  • La funzione è una funzione matematica e utile in molti modi.
  • Se il numero intero 'n' è un numero primo, allora mcd (m, n) = 1.
  • La funzione funziona sulla formula 1 <m <n dove m e n sono i numeri primi e moltiplicativi.
  • In generale, l'equazione è
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1-1 / n)
  • La funzione fondamentalmente conta il numero di interi positivi inferiore all'intero dato, che è un numero relativamente primo rispetto all'intero dato.
  • Se il numero intero p è primo, allora ϕ (p) = p - 1
  • Se la potenza di p è primo, se a = p n è un potere primo allora ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) non è uno - uno
  • ϕ (n) non è su.
  • ϕ (n), n> 3 è sempre pari.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Calcola la funzione totale di Eulero

Esempio 1

Calcola ϕ (7)?

Soluzione:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Poiché tutti i numeri sono primi per 7, quindi è stato facile calcolare il ϕ.

Esempio n. 2

Calcola ϕ (100)?

Soluzione:

Poiché 100 è un numero elevato, è necessario molto tempo calcolare da 1 a 100 i numeri primi che sono numeri primi con 100. Quindi applichiamo la formula seguente:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1-1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Esempio n. 3

Calcola ϕ (240)?

I multipli di 240 sono 16 * 5 * 3, ovvero 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1-1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

se n M non è un numero primo, usiamo n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Esempio n. 4

Calcola ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1-1 / m) (1-1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Applicazioni

Le varie applicazioni sono le seguenti:

  • La funzione viene utilizzata per definire il sistema di crittografia RSA utilizzato per la crittografia di sicurezza Internet.
  • Utilizzato nella teoria dei numeri primi.
  • Utilizzato anche in calcoli di grandi dimensioni.
  • Utilizzato nelle applicazioni della teoria dei numeri elementare.

Conclusione

La funzione totient di Eulero è utile in molti modi. Viene utilizzato nel sistema di crittografia RSA, utilizzato per scopi di sicurezza. La funzione si occupa della teoria dei numeri primi ed è utile anche nel calcolo di calcoli di grandi dimensioni. La funzione viene utilizzata anche nei calcoli algebrici e nei numeri elementari. Il simbolo utilizzato per denotare la funzione è ϕ, ed è anche chiamata funzione phi. La funzione consiste in un uso più teorico piuttosto che pratico. L'uso pratico della funzione è limitato. La funzione può essere meglio compresa attraverso i vari esempi pratici piuttosto che solo spiegazioni teoriche. Esistono varie regole per il calcolo della funzione totiente di Eulero e per numeri diversi devono essere applicate regole diverse. La funzione fu introdotta per la prima volta nel 1763, ma a causa di alcuni problemi,ottenne il riconoscimento nel 1784 e il nome fu modificato nel 1879. La funzione è una funzione universale e può essere applicata ovunque.

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