Che cos'è la curva dei rendimenti di bootstrap?
Il bootstrap è un metodo per costruire una curva dei rendimenti zero coupon. I seguenti esempi di bootstrap forniscono una panoramica di come viene costruita una curva dei rendimenti. Sebbene non tutte le variazioni possano essere spiegate poiché esistono molti metodi nel bootstrap a causa delle differenze nelle convenzioni utilizzate.
Primi 3 esempi di curva di rendimento di bootstrap in Excel
I seguenti sono esempi di bootstrap della curva dei rendimenti in Excel.
Esempio 1
Considera diverse obbligazioni con un valore nominale di $ 100, con il rendimento a scadenza uguale al tasso della cedola. I dettagli del coupon sono i seguenti:
| Scadenza | 0,5 anni | 1 anno | 1,5 anni | 2 anni |
| Resa alla scadenza | 3% | 3,50% | 4,50% | 6% |
Soluzione:
Ora, per uno zero coupon con una scadenza di 6 mesi, riceverà una singola cedola equivalente al rendimento dell'obbligazione. Pertanto, il tasso a pronti per l'obbligazione zero coupon a 6 mesi sarà del 3%.
Per un'obbligazione di 1 anno, ci saranno due flussi di cassa, a 6 mesi e a 1 anno.
Il flusso di cassa a 6 mesi sarà (3,5% / 2 * 100 = $ 1,75) e il flusso di cassa a 1 anno sarà (100 + 1,75 = $ 101,75), ovvero il pagamento del capitale più il pagamento della cedola.
Dalla scadenza di 0,5 anni il tasso a pronti o il tasso di sconto è del 3% e supponiamo che il tasso di sconto per la scadenza a 1 anno sia x%, quindi
- 100 = 1,75 / (1 + 3% / 2) 1 + 101,75 / (1 + x / 2) 2
- 100-1,75 / (1 + 3% / 2) = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- 98,2758 = 101,75 / (1 + x% / 2) 2
- (1 + x% / 2) 2 = 101,75 / 98,2758
- (1 + x% / 2) 2 = 1,0353
- 1 + x% / 2 = (1,0353) (1/2)
- 1 + x% / 2 = 1,0175
- x% = (1.0175-1) * 2
- x% = 3,504%
Risolvendo l'equazione precedente, otteniamo x = 3.504%
Ora, di nuovo per una scadenza obbligazionaria di 2 anni,
- 100 = 3 / (1 + 3% / 2) 1 + 3 / (1 + 3,504% / 2) 2 + 3 / (1 + 4,526% / 2) 3 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100 = 2,955665025 + 2,897579405 + 2,805211867 + 103 / (1 + x / 2) 4
- 100-8,658456297 = 103 / (1 + x / 2) 4
- 91,3415437 = 103 / (1 + x / 2) 4
- (1 + x / 2) 4 = 103 // 91,3415437
- (1 + x / 2) 4 = 1,127635858
- (1 + x / 2) = 1,127635858 (1/4)
- (1 + x / 2) = 1,030486293
- x = 1.030486293-1
- x = 0,030486293 * 2
- x = 6,097%
Risolvendo per x otteniamo, x = 6,097%
Allo stesso modo, per una scadenza obbligazionaria di 1,5 anni
100 = 2,25 / (1 + 3% / 2) 1 + 2,25 / (1 + 3,504 / 2) 2 + 102,25 / (1 + x / 2) 3
Risolvendo l'equazione precedente, otteniamo x = 4,526%
Pertanto, le curve di rendimento zero bootstrap saranno:
| Scadenza | Tariffe zero |
| 0,5 anni | 3% |
| 1 anno | 3,50% |
| 1,5 anni | 4,53% |
| 2 anni | 6,10% |
Esempio n. 2
Consideriamo un insieme di obbligazioni zero coupon del valore nominale di $ 100, con scadenza 6 mesi, 9 mesi e 1 anno. Le obbligazioni sono zero coupon, ovvero non pagano alcuna cedola durante il mandato. I prezzi delle obbligazioni sono i seguenti:
| Scadenza | Prezzo ($) | |
| Mesi | 6 | 99 |
| Mesi | 9 | 98.5 |
| Anno | 1 | 97.35 |
Soluzione:
Considerando una convenzione di tasso lineare,
FV = Prezzo * (1+ r * t)Dove r è il tasso zero coupon, t è il tempo
Pertanto, per un mandato di 6 mesi:
- 100 = 99 * (1 + R 6 * 6/12)
- R 6 = (100/99 - 1) * 12/6
- R 6 = 2,0202%
Per una durata di 9 mesi:
- 100 = 99 * (1 + R 9 * 6/12)
- R 9 = (100 / 98,5 - 1) * 12/9
- R 9 = 2,0305%
Per una durata di 1 anno:
- 100 = 97,35 * (1 + R 12 * 6/12)
- R 12 = (100 / 97,35 - 1) * 12/12
- R 12 = 2,7221%
Pertanto, i tassi di rendimento zero coupon bootstrap saranno:
| Scadenza | Zero Coupon (Tariffe) |
| 6 mesi | 2,02% |
| 9 mesi | 2,03% |
| 1 anno | 2,72% |
Si noti che la differenza tra il primo e il secondo esempio è che abbiamo considerato i tassi zero coupon lineari nell'esempio 2 mentre sono composti nell'esempio 1.
Esempio n. 3
Sebbene questo non sia un esempio diretto di una curva dei rendimenti bootstrap, a volte è necessario trovare il tasso tra due scadenze. Considera la curva a tasso zero per le seguenti scadenze.
| Scadenza | Zero Coupon (Tariffe) |
| 6 | 2,50% |
| 1 anno | 3,50% |
| 3 anno | 5% |
| 4 anni | 5,50% |
Ora, se uno ha bisogno del tasso zero coupon per la scadenza di 2 anni, deve interpolare linearmente i tassi zero tra 1 anno e 3 anni.
Soluzione:
Calcolo del tasso di sconto zero coupon per 2 anni -
Tasso zero coupon per 2 anni = 3,5% + (5% - 3,5%) * (2-1) / (3-1) = 3,5% + 0,75%
Tasso zero coupon per 2 anni = 4,25%
Pertanto, il tasso di sconto zero coupon da utilizzare per l'obbligazione a 2 anni sarà del 4,25%
Conclusione
Gli esempi di bootstrap danno un'idea di come vengono calcolati i tassi zero per il prezzo di obbligazioni e altri prodotti finanziari. Bisogna guardare correttamente alle convenzioni di mercato per un corretto calcolo delle aliquote zero.
