Formula per calcolare il test Z nelle statistiche
Z = (x - μ) / ơIl test Z in statistica si riferisce al test di ipotesi che viene utilizzato per determinare se le due medie dei campioni calcolate sono diverse, nel caso in cui siano disponibili le deviazioni standard e il campione è grande.
dove x = qualsiasi valore dalla popolazione
- μ = media della popolazione
- ơ = deviazione standard della popolazione
Nel caso di un campione, la formula per le statistiche di valore del test z viene calcolata sottraendo la media del campione dal valore x. Quindi il risultato viene diviso per la deviazione standard del campione. Matematicamente, è rappresentato come,
Z = (x - x_mean ) / sdove
- x = qualsiasi valore dal campione
- x_mean = media del campione
- s = deviazione standard del campione
Calcolo del test Z (passo dopo passo)
La formula per le statistiche del test z per una popolazione viene derivata utilizzando i seguenti passaggi:
- Passaggio 1: in primo luogo, calcolare le medie della popolazione e la deviazione standard della popolazione in base all'osservazione catturata nella media della popolazione e ciascuna osservazione è indicata con x i . Il numero totale di osservazioni nella popolazione è indicato da N.
Popolazione media,
Deviazione standard della popolazione,
- Passaggio 2: Infine, le statistiche del test z vengono calcolate sottraendo la media della popolazione dalla variabile, quindi il risultato viene diviso per la deviazione standard della popolazione, come mostrato di seguito.
Z = (x - μ) / ơ
La formula per le statistiche del test z per un campione viene derivata utilizzando i seguenti passaggi:
- Passaggio 1: in primo luogo, calcolare la media e la deviazione standard del campione come sopra. Qui, il numero totale di osservazioni nel campione è indicato da n tale che n <N.
Campione medio,
Deviazione standard del campione,
- Passaggio 2: Infine, le statistiche del test z vengono calcolate sottraendo la media del campione dal valore x, quindi il risultato viene diviso per la deviazione standard del campione, come mostrato di seguito.
Z = (x - x_mean ) / s
Esempi
Esempio 1
Supponiamo che una popolazione di studenti di una scuola sia apparsa per un test di classe. Il punteggio medio nel test è 75 e la deviazione standard è 15. Determina il punteggio z-test di David, che ha ottenuto 90 nel test.
Dato,
- La media della popolazione, μ = 75
- Deviazione standard della popolazione, ơ = 15
Pertanto, le statistiche del test z possono essere calcolate come,
Z = (90-75) / 15
Le statistiche del test Z saranno:
- Z = 1
Pertanto, il punteggio del test di David è una deviazione standard al di sopra del punteggio medio della popolazione, ovvero, secondo la tabella del punteggio z, l'84,13% degli studenti ha un punteggio inferiore rispetto a David.
Esempio n. 2
Prendiamo l'esempio di 30 studenti selezionati come parte di un team campione per essere intervistati per vedere quante matite sono state utilizzate in una settimana. Determina il punteggio z-test per il 3 ° studente in base alle risposte fornite: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4, 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.
Dato,
- x = 5, poiché la risposta del 3 ° studente è 5
- Dimensione del campione, n = 30
Media campione, = (3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 3 + 3 + 8 + 3 + 1 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 8 + 3 + 6 + 7) / 30
Media = 4,17
Ora, la deviazione standard del campione può essere calcolata utilizzando la formula sopra.
ơ = 1,90
Pertanto, il punteggio z-test per il 3 ° studente può essere calcolato come,
Z = (x - x) / s
- Z = (5-17) / 1,90
- Z = 0,44
Pertanto, l' utilizzo del 3 ° studente è 0,44 volte la deviazione standard al di sopra dell'uso medio del campione, ovvero secondo la tabella del punteggio z, il 67% degli studenti usa meno matite rispetto al 3 ° studente.
Esempio n. 3
Prendiamo l'esempio di 30 studenti selezionati come parte di un team campione per essere intervistati per vedere quante matite sono state utilizzate in una settimana. Determina il punteggio z-test per il 3 ° studente in base alle risposte fornite: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4, 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.
Di seguito vengono forniti i dati per il calcolo delle statistiche del test Z.
È possibile fare riferimento al foglio Excel fornito di seguito per il calcolo dettagliato delle statistiche del test Z.
Rilevanza e usi
È essenziale comprendere il concetto di statistica del test z perché viene solitamente utilizzato ogni volta che è discutibile se una statistica del test segue o meno una distribuzione normale sotto l'ipotesi nulla in questione. Tuttavia, va tenuto presente che uno z-test viene utilizzato solo quando la dimensione del campione è maggiore di 30; in caso contrario, viene utilizzato il test t.
