Definizione del teorema del limite centrale
Il teorema del limite centrale afferma che i campioni casuali di una variabile casuale della popolazione con qualsiasi distribuzione si avvicineranno ad essere una distribuzione di probabilità normale all'aumentare della dimensione del campione e presume che quando la dimensione del campione nella popolazione supera 30, la media del campione la cui media di tutte le osservazioni del campione sarà prossima a essere uguale alla media della popolazione.
Formula del teorema del limite centrale
Abbiamo già discusso che quando la dimensione del campione supera 30, la distribuzione assume la forma di una distribuzione normale. Per determinare la distribuzione normale di una variabile, è importante conoscere la sua media e la sua varianza. Una distribuzione normale può essere definita come
X ~ N (µ, α)
Dove
- N = no di osservazioni
- µ = media delle osservazioni
- α = deviazione standard
Nella maggior parte dei casi, le osservazioni non rivelano molto nella sua forma grezza. Quindi è fondamentale standardizzare le osservazioni per poterle confrontare. È fatto con l'aiuto dello z-score. È necessario calcolare il punteggio Z per un'osservazione. La formula per calcolare lo z-score è
Z = (X- µ) / α / √n
Dove
- Z = Z-score delle osservazioni
- µ = media delle osservazioni
- α = deviazione standard
- n = dimensione del campione
Spiegazione
Il teorema del limite centrale afferma che i campioni casuali di una variabile di popolazione casuale con qualsiasi distribuzione si avvicineranno ad essere una distribuzione di probabilità normale all'aumentare della dimensione del campione. Il teorema del limite centrale presuppone che poiché la dimensione del campione nella popolazione supera 30, la media del campione, che è la media di tutte le osservazioni per il campione, sarà quasi uguale alla media della popolazione. Inoltre, la deviazione standard del campione quando la dimensione del campione supera 30 sarà uguale alla deviazione standard della popolazione. Poiché il campione viene scelto casualmente dall'intera popolazione e la dimensione del campione è superiore a 30, è utile nel testare le ipotesi e nella costruzione dell'intervallo di confidenza per il test delle ipotesi.
Esempi di formula del teorema del limite centrale (con modello Excel)
Esempio 1
Comprendiamo il concetto di distribuzione normale con l'aiuto di un esempio. Il rendimento medio di un fondo comune di investimento è del 12% e la deviazione standard dal rendimento medio dell'investimento in un fondo comune è del 18%. Se assumiamo che la distribuzione del rendimento sia normalmente distribuita, interpretiamo la distribuzione del rendimento nell'investimento del fondo comune di investimento.
Dato,
- Il ritorno medio dell'investimento sarà del 12%
- La deviazione standard sarà del 18%
Quindi, per scoprire il rendimento per un intervallo di confidenza del 95%, possiamo scoprirlo risolvendo l'equazione come
- Intervallo superiore = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Intervallo inferiore = 12 - 1,96 (18) = -23%
Il risultato indica che il 95% delle volte il rendimento del fondo comune sarà compreso tra il 47% e il -23%. In questo esempio, la dimensione del campione, che è il rendimento di un campione casuale di più di 30 osservazioni di rendimento, ci fornirà il risultato per il rendimento della popolazione del fondo comune di investimento poiché la distribuzione del campione sarà normalmente distribuita.
Esempio n. 2
Continuando con lo stesso esempio, determiniamo quale sarà il risultato per un intervallo di confidenza del 90%
Dato,
- Il ritorno medio dell'investimento sarà del 12%
- La deviazione standard sarà del 18%
Quindi, per scoprire il rendimento per un intervallo di confidenza del 90%, possiamo scoprirlo risolvendo l'equazione come
- Intervallo superiore = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Intervallo inferiore = 12 - 1,65 (18) = -18%
Il risultato indica che il 90% delle volte il rendimento del fondo comune di investimento sarà compreso tra il 42% e il -18%.
Esempio n. 3
Continuando con lo stesso esempio, determiniamo quale sarà il risultato per un intervallo di confidenza del 99%
Dato,
- Il ritorno medio dell'investimento sarà del 12%
- La deviazione standard sarà del 18%
Quindi, per scoprire il rendimento per un intervallo di confidenza del 90%, possiamo scoprirlo risolvendo l'equazione come
- Intervallo superiore = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Intervallo inferiore = 12 - 2,58 (18) = -34%
Il risultato indica che il 99% delle volte, il rendimento del fondo comune sarà compreso tra il 58% e il -34%.
Rilevanza e utilizzo
Il teorema del limite centrale è estremamente vantaggioso in quanto consente al ricercatore di prevedere la media e la deviazione standard dell'intera popolazione con l'aiuto del campione. Poiché il campione viene scelto casualmente dall'intera popolazione e la dimensione del campione è superiore a 30, qualsiasi dimensione del campione casuale prelevata dalla popolazione si avvicinerà alla distribuzione normale, il che aiuterà nel test di ipotesi e nella costruzione dell'intervallo di confidenza per il verifica di ipotesi. Sulla base del teorema del limite centrale, il ricercatore è in grado di scegliere qualsiasi campione casuale dall'intera popolazione e quando la dimensione del campione è superiore a 30,quindi può prevedere la popolazione con l'aiuto del campione poiché il campione seguirà una distribuzione normale e anche la media e la deviazione standard del campione saranno uguali alla media e alla deviazione standard della popolazione.
